Sommaire
Quelques définitions
Les nombres complémentaires
Dans la suite naturelle des nombres entiers de 1 à N, on appelle » nombres complémentaires » les couples formés de deux nombres symétriques par rapport au milieu de la suite, paire ou impaire.
Par exemple, dans la suite des nombres de 1 à N = 16, ci-dessous :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
les couples 1-16, 2-15, 3-14, 4-13 etc… sont formés de nombres complémentaires.
On observe que – la somme de deux nombres complémentaires est constante et égale à N + 1. – dans une suite impaire, le terme médian M est égale à ½ (N + 1).
Les cases complémentaires
Dans une grille carrée ou rectangulaire, on appelle « cases complémentaires », les cases diamétralement opposées, c’est-à-dire symétriques par rapport au centre de cette grille, paire ou impaire.
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2021/10/associe01.jpg)
Les carrés magiques normaux de type associé
Cette disposition correspond au type de base III de la Classification de Dudeney. Voici quelques exemples.
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2021/10/associe02a.jpg)
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2021/10/associe02b.jpg)
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2021/10/associe02c.jpg)
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2021/10/associe02d.jpg)
Les 8 formes du Lo Shu correspondent à des carrés magiques du type « associé ».
Les carrés magiques associés, relativement peu nombreux dans la grande famille des carrés magiques normaux, sont cependant omniprésents dans tous les ouvrages traitant des carrés magiques , souvent de façon anonyme.
Propriétés générales des carrés magiques de type associé
❶ – Dans un carré magique associé, la somme P de deux nombres complémentaires est égale à P = ( n2 + 1 ) : cette constante numérique est appelée « constante de polarisation » par le général Cazalas.
❷ – Dans le cas d’une grille impaire, le terme médian M de la suite naturelle des entiers de 1 à N, avec N = n2, se trouve dans la case centrale de la grille, et vaut M = ½ ( n2 + 1 ), c’est-à-dire Mn/n. La réciproque n’est pas vraie.
❸ – Toujours dans le cas d’une grille impaire, le terme médian M dans la case centrale, est égal à la différence, en valeur absolue, entre les couples de nombres comptés à partir d’une case angulaire, en tournant toujours dans le sens approprié, pour aboutir à la case centrale.
Ainsi dans l’exemple ci-dessus, pour n = 5 : 15 – 2 = 13 ; 19 – 6 = 13 ; 23 – 10 = 13 ; etc…
❹ – Les carrés magiques de type associé, sont semipandiagonaux, c’est-à-dire que la constante magique est obtenue dans les seules diagonales brisées dont les termes présentent une symétrie centrale. Exemple dans le carré magique de type associé, dit de Dürer : Dans les diagonales brisées en cause, on a ainsi :
5 + 3 + 14 + 12 = 34 et 9 + 15 + 8 + 2 = 34
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❺ – Les carrés magiques de type associé sont autocomplémentaires.
Lorsque l’on remplace chaque terme d’un carré magique normal d’ordre n, par son complément à [n2 + 1], on obtient un autre carré magique de même constante linéaire, dit « complémentaire » et l’opération est réversible. Exemple : avec n = 4 ; n2 + 1 = 17
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2021/10/associe04a.jpg)
Dans le cas du carré magique de type associé, le « complémentaire » coïncide, après une rotation, avec le carré magique d’origine : ce dernier est alors dit « autocomplémentaire ». Exemple ci-contre :
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2021/10/associe04b.jpg)
❻ – Il n’existe pas de carré magique de type associé d’ordre impairement pair, c’est-à-dire divisible une seule fois par 2 , comme n = 6, 10, 14, 18, 22, . . .
Les carrés magiques de type associé n =4
Lorsque l’on accole deux couples quelconques de nombres complémentaires, la somme des 4 nombres ainsi groupés, est constante. Cela résulte directement de la propriété I énoncée ci-dessus, et cette somme vaut donc 2 (n2 + 1) = 2 P, soit le double de la constante de polarisation.
Cette remarque est particulièrement intéressante dans le cas des carrés magiques associés d’ordre n = 4, car cette somme, soit 2 ( n2 + 1 ) = 34, est précisément égale à la constante magique des carrés magiques normaux d’ordre n = 4.
Soit un carré magique associé d’ordre n = 4 : le carré dit de Dürer, par exemple :
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2021/10/associe05.jpg)
Il y a 8 couples de nombres complémentaires dans la suite des entiers de 1 à 16, que l’on peut identifier par les lettres A, B, C, D….H :
1 – 16 | 2 – 15 | 3 -14 | 4 – 13 | 5 – 12 | 6 – 11 | 7 – 10 | 8 – 9 |
A | B | C | D | E | F | G | H |
Le groupement de deux couples de cette série de 8, s’identifie aux combinaisons de 8 termes 2 à 2.
Le nombre de combinaisons est alors
Il est facile de dresser le tableau de ces 28 combinaisons :
AB AC AD AE AF AG AH
BC BD BE BF BG BH
CD CE CF CG CH
DE DF DG DH
EF EG EH
FG FH
GH
La somme des 2 couples, soit 4 nombres, correspondant à ces 28 combinaisons, donne donc la constante magique M4= 34 du carré magique normal d’ordre n = 4
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Les carrés magiques de type associé n =5
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❶ Le total de deux nombres diamétralement opposés est constant, et égal à [n2 + 1] = 26 ( Rappel )
❷ Dans les quatre équerres aux sommets de la grille ( schéma ci-dessus ) les trois nombres ont 39 pour somme commune .
❸ On peut isoler neuf petites grilles cruciformes dont les axes sont formés de 3 cases ; les 3 termes sur ces axes donnent le même total, ce total étant propre et différent dans chaque grille cruciforme.
❹ La somme propre de deux grilles cruciformes symétriques par rapport au centre du carré magique, est constante et égale à 78.
❺ On peut tracer cinq pentagrammes irréguliers, dont la somme des nombres des cinq sommets situés sur l’enceinte périphérique donne toujours 65.
❻ On peut tracer deux hexagones irréguliers, dont les nombres aux 6 sommets situés sur l’enceinte périphérique ont 78 comme somme commune.
❼ Dans le carré central d’ordre n = 3, les médianes et les diagonales donnent une somme constante de 39.
Les 16 carrés « supermagiques » japonais de type associé, d’ordre n = 5
Les 16 carrés magiques de type associé, que l’on trouve ci-dessous, présentent, en plus des propriétés mentionnées précédemment, les propriétés suivantes, qui leur confèrent une « supermagie » certaine :
❶ Dans toute fenêtre d’ordre n = 3, la somme des 4 sommets et du centre, est magique, soit 65.
❷ La somme des 4 sommets de la grille d’ordre n = 5, et du centre, est magique ( 65 )
❸ Dans toute formation cruciforme de 5 nombres, leur somme est magique ( 65 )
❹ Ces carrés « supermagiques » d’ordre n = 5 sont auto-complémentaires.
❺ Ces propriétés sont conservées dans le « tapis » correspondant, à l’exception de la propriété n°4 qui précède.
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![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2021/10/associe08d.jpg)
▶ Henry E. Dudeney (1917-1958) – Amusements in Mathematics – Dover Publications, New York
▶ Général Cazalas (1934) – Carrés magiques au degré n – Hermann Editeur, Paris
▶ William H. Benson & Ostwald Jacoby (1976) – New Recreations with Magic Squares – Dover Publications, New York.
▶ René Descombes (2000)– Les Carrés Magiques – Vuibert Editeur, Paris, 500 pp.
▶ Bernard Gervais (1998) – Les Carrés Magiques de 5 (Les mosaïques magiques) – Eyrolles Editeur, 195 pp.
▶ Mutsumi Suzuki – Ultra Magic Squares of 5 x 5 – Japan’s Tohoku University