Aller au contenu

Le Crible d’Eratosthène revisité

Ératosthène de Cyrène est un astronome, géographe, philosophe et mathématicien grec du IIIe siècle av. J.-C.. Érudit reconnu par ses pairs, considéré comme le plus grand savant de son époque, il travailla dans les domaines des mathématiques, de l’astronomie, de la poésie, de l’histoire , de la musique….
Dans le domaine de la géographie, il a établi la première méthode de mesure de la circonférence de la Terre !
Dans le domaine des mathématiques, il mit au point une méthode (le crible) qui permet de déterminer tous les nombres premiers.

On a l’habitude de présenter le Crible d’Eratosthène pour les cent premiers nombres, dans un carré naturel d’ordre n = 10, de 100 cases ( 1 )

On occulte ou poche successivement les nombres de ce carré naturel qui ne sont pas premiers.

On poche 1 qui est considéré comme n’étant pas premier.

2, 3, 5, 7 et 11 sont les nombres premiers successifs : on poche les multiples de 2, de 3, de 5, de 7 et de 11. Tous les nombres non pochés de la grille sont des nombres premiers, avec une répartition au hasard dans cette grille, sans aucune règle apparente.

Cependant la présentation du Crible d’Eratoshène dans une grille rectangulaire à 6 colonnes, 6 x 17, de 102 cases, offre des caractéristiques particulièrement intéressantes. On procède alors comme précédemment, pour le carré naturel de 100 cases.

Dans la grille ci-contre, le premier nombre premier est 2.

On élimine en les pochant ( en gris ) tous les nombres multiples de 2, soit les nombres pairs des colonnes 2, 4 et 6.

Le nombre premier suivant est 3 : on poche tous les multiples de 3 dans la colonne 3 ( en sépia )

Le chiffre 5 est le nombre premier qui suit. On poche ( en jaune ) les multiples de 5 dans quatre diagonales, dont certains sont déjà pochés.

On poche ensuite les multiples de 7 ( en vert ), dont certains sont également déjà pochés. On s’arrête là, les multiples de 11 étant déjà pochés.

On constate alors que les nombres premiers situés dans les cases non pochées, se trouvent tous concentrés ( à l’exception de 2 et 3 ) dans les colonnes 1 et 5