Le double carré est une figure géométrique emblématique, constituée de deux carrés identiques assemblés par un côté commun.
La figure a donc une dimension étant exactement deux fois plus grande que l’autre.
Sommaire
Introduction
Dans la Grotte de Lascaux, on découvre un rectangle dessiné sur une paroi de la grotte, tout-à-fait superposable à un double carré.
Ce qui en ferait, de façon incontestable, semble-t-il, la plus ancienne représentation géométrique du rectangle, datée de 21 000 ans ( 1 )
Rappelons quand même à cette occasion, que la Grotte dite de Lascaux est située dans la vallée de la Vézère, commune de Montignac, département de la Dordogne, dans le Périgord noir. Depuis sa redécouverte en 1940, son ouverture au public en 1948, puis sa fermeture en 1963, plusieurs reconstitutions à l’identique, très fidèles, grandeur nature, de la grotte, ont été réalisées, site visité par 250 000 touristes en 2011.
Le double carré est présent en architecture et dans les arts, en peinture en particulier. Ainsi l’artiste, auteur du double carré de Lascaux, a-t-il fait preuve d’un sens particulier de l’esthétique et de la beauté, sans en être conscient.
Le double carré en architecture
Le temple de Jérusalem décrit dans la Bible, est construit sur un plan double carré. De nombreuses églises sont édifiées sur plan double carré, orienté Nord – Sud, ou Est – Ouest, comme l’église St Pierre et St Paul de Cluny. Le double carré de Notre Dame de Chartres est orienté Nord – Sud.
Le temple de Jérusalem décrit dans la Bible, est construit sur un plan double carré.
De nombreuses églises sont édifiées sur plan double carré, orienté Nord – Sud, ou Est – Ouest, comme l’église St Pierre et St Paul de Cluny. Le double carré de Notre Dame de Chartres est orienté Nord – Sud.
La peinture en double carré.
Certains peintres ont adopté le double carré comme format de leurs tableaux.
Vincent van Gogh a utilisé le double carré pour ses toiles pendant les dernières semaines de sa vie à Auvers-sur-Oise, en juin-Juillet 1890, en particulier le format 50 x 100 cm. Il a peint ainsi 13 tableaux en double carré, 12 paysages orientés Est – Ouest, ce format se prête particulièrement bien à la peinture des paysages.
Le portrait de «Mademoiselle Gachet au piano» est en double carré vertical.
D’autre peintres ont utilisé le double carré dans leurs tableaux : Charles François Daubigny, Pierre Puvis de Chavannes, Ivon Hitchens, William Turner.
Le double carré magique.
Si l’on associe deux carrés magiques normaux de même ordre, et différents, avec un côté commun, (ci-dessous), on obtient un double carré magique répétitif.
Voici un autre exemple d’un double carré magique utilisant les 32 premiers entiers, de type 4 x 8 (ci-dessous)
Lorsque l’on assemble deux doubles carrés magiques normaux de même ordre, de type 4 x 8 dans notre exemple, l’un au-dessus de l’autre (ci-contre), on obtient un carré semi-magique répétitif d’ordre n = 8 dans notre exemple, avec deux fois les 32 premiers entiers.
L’assemblage de trois doubles carrés de même type ( ci-dessous), donne une grille rectangulaire, de Type « n x 3n/2 », soit dans notre exemple, avec trois doubles carrés de Type 4 x 8, une grille rectangulaire de Type 8 x 12.
Cette grille rectangulaire est semi-magique répétitif, utilisant trois fois les 32 premiers entiers.
Le pavage avec des doubles carrés élémentaires
On peut paver de doubles carrés élémentaires, en fait des dominos, toute figure rectangulaire dont le produit des côtés est pair. C’est bien le cas du double carré et il y a de nombreuses solutions.
Les exemples ci-dessus correspondent donc au pavage du domino, le plus petit double carré. Rien n’empêche d’envisager dans le double carré, d’autres pavages élémentaires, sous certaines conditions.
Voici par exemple, à gauche, un pavage de tétragones, et à droite un pavage de pentagones :
Le pavage de polygones n’est possible que lorsque le nombre total de cases du double carré support, est un multiple du nombre de cases de l’élément formateur polygone.
Ainsi le nombre de cases du double carré de type 4 x 8 est 32, soit 8 fois le nombre de cases du tétragone.
Le parcours du cavalier des échecs
Le parcours du cavalier des échecs s’inscrit bien dans le double carré, ce dernier étant considéré comme une grille rectangulaire. Exemple ci-dessous dans un double carré de type 4 x 8.
A partir de l’unité, on compte 32 sauts, à la suite l’un de l’autre, correspondant à l’une des huit marches du cavalier des échecs. En principe, on peut rechercher une solution dans tout double carré pour chacune des huit marches du cavalier.
Et maintenant, Ami lecteur, c’est à vous de jouer : trouver un parcours du cavalier dans un double carré lui-même magique !
Les permutations figurées dans le double carré
Soit le double carré magique de Type 4 x 8 pris pour exemple. Dans ce double carré, on peut isoler 5 carrés d’ordre n = 4 différents.
Rappelons que dans tout carré d’ordre n, on peut inscrire : n ! permutations figurées, soit pour n = 4, on a 4 ! = 24 permutations figurées.
Dans le double carré de Type 4 x 8, on pourra donc inscrire : N4 = 24 x 5 = 120 permutations figurées différentes d’ordre n = 4.
D’une façon générale, on a : Nn = ( n ! ) x ( n + 1 ) solutions.
Les colonnes de ces cinq carrés d’ordre n = 4 de notre exemple, sont magiques, comme appartenant au double carré.
Les lignes ne sont pas magiques, sauf celles du carré central (ci-contre), lequel est un carré semi magique, non normal.
On remarque que les termes de ces carrés ont même somme,
S = 264 = 4 x 66.
▶ Stanislas Dehaene – Le Rectangle de Lascaux – Et Homo sapiens inventa la géométrie. Éditions Odile Jacob 2026
▶ Jean-Paul Lemonde – Le double carré
▶ Wikipédia – Le double carré (format de tableau)
▶ Emmanuel Coquery – Les tableaux au format double carré – (Van Gogh à Auvers-sur-Oise), Éditions Hazan, 2023