Ce carré magique normal d’ordre n = 12, de Constante magique M12 = 870, a été trouvé dans les papiers de Benjamin Franklin ( 1706 – 1790 ) après sa disparition, sans aucune mention d’origine. Le correspondant de Benjamin Franklin n’a pas laissé son nom. Ce curieux carré magique anonyme a été présenté par Paul C. Pasles, dans son ouvrage Benjamin Franklin’s Numbers – An Unsung Mathematical Odyssey (1).
La méthode de construction
On sélectionne tout d’abord les termes du carré naturel d’ordre n = 12, en séries de 4 termes consécutifs : soit 36 séries de 4 termes :
On prépare une grille d’ordre n = 12, divisée en 9 sous-carrés d’ordre n = 4.
Dans chaque sous-carré, on place successivement les termes des séries de 4 termes sélectionnées précédemment, dans l’ordre où elles se présentent, implantées conformément aux deux permutations figurées d’ordre n = 4 qui figurent, pochées en vert, au-dessus de cette grille de 144 cases.
Ces permutations figurées sont inspirées d’un carré magique normal d’ordre n = 4, (voir ci-dessous) : en l’occurrence, c’est le carré magique n° 104 de la Classification de Frénicle. L’exemple donné intéresse le premier sous-carré de la première ligne de la grille.
On poursuit successivement le remplissage des sous-carrés de 16 cases, conformément à la même implantation des séries de 4 termes sélectionnées dans le carré naturel d’ordre n = 12.
On remplit ainsi la moitié des 144 cases de la grille d’ordre n = 12, avec les 18 premières séries de 4 termes sélectionnées.
Le remplissage des cases vides, se fait, en remontant dans la grille, depuis le dernier sous-carré, de façon analogue, mutatis mutandis, ainsi qu’il suit, en utilisant les 18 dernières séries de 4 termes sélectionnées placées sur les deux permutations figurées qui complètent le carré magique catalyseur.
L’exemple ci-dessous montre le remplissage du dernier sous-carré de la dernière ligne, les termes de la série correspondante étant alors implantés conformément aux deux permutations figurées restantes issues du carré magique catalyseur.
L’achèvement du remplissage des sous-carrés ( chiffres en rouge ) conduit ainsi à un carré magique normal d’ordre n = 12, de Constante magique M12 = 870.
C’est aussi un carré panmagique : les diagonales centrales et brisées sont magiques.
De belles propriétés
Chacun des 9 sous-carrés d’ordre n = 4 est lui-même un carré panmagique, non normal bien sûr, de Constante magique M’4 = 290, soit le tiers de la Constante magique de la grille d’ordre n = 12 : M12 = 870.
Toutes les formations de 4 cases au carré, ont pour somme constante : S = 290 = M’4 . On compte alors :
N = 11 x 11 = 121 formations de ce genre.
La propriété énoncée ci-dessus est évidemment observée dans le carré central de 4 cases, dans chacun des 9 sous-carrés d’ordre n = 4.
Dans chaque sous-carré d’ordre n = 4, et dans les 4 formations possibles de 9 cases au carré, la somme des nombres aux quatre sommets est constante, et égale à S = 290 = M’4 . On compte ainsi au total, N = 9 x 4 = 36 formations de ce genre. Exemple dans le premier sous-carré de la première ligne :
Dans chaque sous-carré d’ordre n = 4, on compte 8 couples de nombres complémentaires à :
S = 145 ; exemples ci-dessous dans le premier et le dernier sous-carré :
| 1 + 144 = 145 | 5 + 140 = 145 |
| 2 + 143 = 145 | 6 + 139 = 145 |
| 3 + 142 = 145 | 7 + 138 = 145 |
| 4 + 141 = 145 | 8 + 137 = 145 |
| 65 + 80 = 145 | 69 + 76 = 145 |
| 66 + 79 = 145 | 70 + 75 = 145 |
| 67 + 78 = 145 | 71 + 74 = 145 |
| 68 + 77 = 145 | 72 + 73 = 145 |
On place dans une grille d’ordre n = 3, les termes homologues de ce carré magique. Dans chacune des 16 grilles obtenues, les médianes et les diagonales centrales ont même somme.
Et ces différentes sommes rassemblées dans une grille d’ordre n = 4, forment elles-mêmes un carré panmagique, non normal, de Constante magique
M’4 = 870.
On peut bien sûr permuter les 9 sous-carrés d’ordre n = 4 dans la grille d’ordre n = 12 ; il y a alors :
N = 9 ! = 362 880 carrés magiques différents de ce type.
Dénombrement
La construction de ce curieux carré magique normal d’ordre n = 12, est basée sur un carré magique normal d’ordre n = 4, très particulier, agissant comme catalyseur. Rappelons-le :
Ce carré magique-catalyseur présente une propriété particulière : les termes de cette grille, par série de 4, sont tous situés sur une permutation figurée. Ce catalyseur figure sous le N° 104 de la Classification de Frénicle.
Peut-on trouver d’autres carrés magiques d’ordre n = 4, présentant cette propriété particulière, et susceptibles d’agir comme catalyseurs pour la construction de ce type de curieux carré magique d’ordre n = 12 ? Il faudrait tester les 880 carrés magiques de la Classification de Frénicle !
Cependant en y regardant de plus près, on observe que ce catalyseur N° 104 fait partie de la liste des 48 carrés panmagiques d’ordre n = 4 de la Classification de Dudeney, qui présentent tous cette propriété.
Voici donc, ci-après, ces 48 catalyseurs, d’après l’ouvrage de Jean-François Phélizon ( 2 ) : La participation des permutations figurées est bien présente dans les 48 solutions ainsi dénombrées, pour la construction de ce curieux type de carré magique d’ordre n = 12.
La numérotation de ces carrés magiques-catalyseurs d’ordre n = 4 correspond à la numérotation de la Classification de Frénicle.
( 1 ) Paul C. Pasles – Benjamin Franklin’s Numbers – An Unsung Mathematical Odyssey – Princeton University Press – 2008 – 254 pp ( pages 248 – 250 )
( 2 ) Jean-François Phélizon – Les Carrés magiques – Editions Economica – 2005, 251 pp. ( cf. tableaux pp. 211 – 212 )
( 3 ) The Papers of Benjamin Franklin Digital Edition by The Packard Humanities Institute