![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2023/01/Benjamin_Franklin-Ritchie.jpg)
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2023/01/Paul-C-Pasles_-Benjamin-Franklin-Numbers.jpg)
Ce carré magique normal d’ordre n = 12, de Constante magique M12 = 870, a été trouvé dans les papiers de Benjamin Franklin ( 1706 – 1790 ) après sa disparition, sans aucune mention d’origine. Le correspondant de Benjamin Franklin n’a pas laissé son nom. Ce curieux carré magique anonyme a été présenté par Paul C. Pasles, dans son ouvrage Benjamin Franklin’s Numbers – An Unsung Mathematical Odyssey (1).
La méthode de construction
On sélectionne tout d’abord les termes du carré naturel d’ordre n = 12, en séries de 4 termes consécutifs : soit 36 séries de 4 termes :
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2023/01/Franklin12-01.jpg)
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2023/01/Franklin12-03.jpg)
On prépare une grille d’ordre n = 12, divisée en 9 sous-carrés d’ordre n = 4.
Dans chaque sous-carré, on place successivement les termes des séries de 4 termes sélectionnées précédemment, dans l’ordre où elles se présentent, implantées conformément aux deux permutations figurées d’ordre n = 4 qui figurent, pochées en vert, au-dessus de cette grille de 144 cases.
Ces permutations figurées sont inspirées d’un carré magique normal d’ordre n = 4, (voir ci-dessous) : en l’occurrence, c’est le carré magique n° 104 de la Classification de Frénicle. L’exemple donné intéresse le premier sous-carré de la première ligne de la grille.
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2023/01/Franklin12-02.jpg)
On poursuit successivement le remplissage des sous-carrés de 16 cases, conformément à la même implantation des séries de 4 termes sélectionnées dans le carré naturel d’ordre n = 12.
On remplit ainsi la moitié des 144 cases de la grille d’ordre n = 12, avec les 18 premières séries de 4 termes sélectionnées.
Le remplissage des cases vides, se fait, en remontant dans la grille, depuis le dernier sous-carré, de façon analogue, mutatis mutandis, ainsi qu’il suit, en utilisant les 18 dernières séries de 4 termes sélectionnées placées sur les deux permutations figurées qui complètent le carré magique catalyseur.
L’exemple ci-dessous montre le remplissage du dernier sous-carré de la dernière ligne, les termes de la série correspondante étant alors implantés conformément aux deux permutations figurées restantes issues du carré magique catalyseur.
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2023/01/Franklin12-04.jpg)
L’achèvement du remplissage des sous-carrés ( chiffres en rouge ) conduit ainsi à un carré magique normal d’ordre n = 12, de Constante magique M12 = 870.
C’est aussi un carré panmagique : les diagonales centrales et brisées sont magiques.
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2023/01/Franklin12-05.jpg)
De belles propriétés
Chacun des 9 sous-carrés d’ordre n = 4 est lui-même un carré panmagique, non normal bien sûr, de Constante magique M’4 = 290, soit le tiers de la Constante magique de la grille d’ordre n = 12 : M12 = 870.
Toutes les formations de 4 cases au carré, ont pour somme constante : S = 290 = M’4 . On compte alors :
N = 11 x 11 = 121 formations de ce genre.
La propriété énoncée ci-dessus est évidemment observée dans le carré central de 4 cases, dans chacun des 9 sous-carrés d’ordre n = 4.
Dans chaque sous-carré d’ordre n = 4, et dans les 4 formations possibles de 9 cases au carré, la somme des nombres aux quatre sommets est constante, et égale à S = 290 = M’4 . On compte ainsi au total, N = 9 x 4 = 36 formations de ce genre. Exemple dans le premier sous-carré de la première ligne :
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2023/01/Franklin12-06.jpg)
Dans chaque sous-carré d’ordre n = 4, on compte 8 couples de nombres complémentaires à :
S = 145 ; exemples ci-dessous dans le premier et le dernier sous-carré :
1 + 144 = 145 | 5 + 140 = 145 |
2 + 143 = 145 | 6 + 139 = 145 |
3 + 142 = 145 | 7 + 138 = 145 |
4 + 141 = 145 | 8 + 137 = 145 |
65 + 80 = 145 | 69 + 76 = 145 |
66 + 79 = 145 | 70 + 75 = 145 |
67 + 78 = 145 | 71 + 74 = 145 |
68 + 77 = 145 | 72 + 73 = 145 |
On place dans une grille d’ordre n = 3, les termes homologues de ce carré magique. Dans chacune des 16 grilles obtenues, les médianes et les diagonales centrales ont même somme.
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2023/01/Franklin12-07.jpg)
Et ces différentes sommes rassemblées dans une grille d’ordre n = 4, forment elles-mêmes un carré panmagique, non normal, de Constante magique
M’4 = 870.
On peut bien sûr permuter les 9 sous-carrés d’ordre n = 4 dans la grille d’ordre n = 12 ; il y a alors :
N = 9 ! = 362 880 carrés magiques différents de ce type.
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2023/01/Franklin12-08.jpg)
Dénombrement
La construction de ce curieux carré magique normal d’ordre n = 12, est basée sur un carré magique normal d’ordre n = 4, très particulier, agissant comme catalyseur. Rappelons-le :
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2023/01/Franklin12-09.jpg)
Ce carré magique-catalyseur présente une propriété particulière : les termes de cette grille, par série de 4, sont tous situés sur une permutation figurée. Ce catalyseur figure sous le N° 104 de la Classification de Frénicle.
Peut-on trouver d’autres carrés magiques d’ordre n = 4, présentant cette propriété particulière, et susceptibles d’agir comme catalyseurs pour la construction de ce type de curieux carré magique d’ordre n = 12 ? Il faudrait tester les 880 carrés magiques de la Classification de Frénicle !
Cependant en y regardant de plus près, on observe que ce catalyseur N° 104 fait partie de la liste des 48 carrés panmagiques d’ordre n = 4 de la Classification de Dudeney, qui présentent tous cette propriété.
Voici donc, ci-après, ces 48 catalyseurs, d’après l’ouvrage de Jean-François Phélizon ( 2 ) : La participation des permutations figurées est bien présente dans les 48 solutions ainsi dénombrées, pour la construction de ce curieux type de carré magique d’ordre n = 12.
![](https://www.canal-math.com/wp-content/uploads/2023/01/Franklin12-10.jpg)
La numérotation de ces carrés magiques-catalyseurs d’ordre n = 4 correspond à la numérotation de la Classification de Frénicle.
( 1 ) Paul C. Pasles – Benjamin Franklin’s Numbers – An Unsung Mathematical Odyssey – Princeton University Press – 2008 – 254 pp ( pages 248 – 250 )
( 2 ) Jean-François Phélizon – Les Carrés magiques – Editions Economica – 2005, 251 pp. ( cf. tableaux pp. 211 – 212 )
( 3 ) The Papers of Benjamin Franklin Digital Edition by The Packard Humanities Institute