Choix à priori de la constante linéaire des Carrés Magiques : Méthodes multiplicative et du quotient

Méthode multiplicative

La relation classique de la division d’un nombre entier  a par un nombre entier b est : a = b . q + r
q étant le quotient et r le reste.

Posons : a = M’_n et b = M_n
Effectuons alors la division :  M’_n = M_n . q + r

La construction du carré magique de constante M’_n à partir d’un carré magique auxiliaire de constante M_n, s’effectue de la manière suivante : On multiplie chaque terme du carré auxiliaire d’ordre n, par le quotient q, et l’on répartit le reste r sur chaque ligne de cases, c’est-à-dire en augmentant chaque terme de la quantité r / n

Exemple pour n = 3

Soit M’₃ = 96 : On aura : 96 = (15 x 6 ) + 6
On multiplie chaque terme du carré auxiliaire par q = 6, et ensuite on ajoute encore à chaque terme  la quantité
r / n= 6 / 3 = 2

Exemple pour n = 4.

M’₄ = M₄ + r     avec M₄ = 34 et M’₄ = 130                                       130 = ( 34 . 3 ) + 28
Facteur multiplicatif :  q = 3 et Facteur additif : r / n = 28 / 4 = 7

On ne peut pas donner à M’_n  n’importe quelle valeur si l’on raisonne en nombres entiers : pour permettre la répartition du reste r dans chaque ligne de n cases, ce reste r doit être un multiple de n.

Variante : Au lieu de répartir le reste r sur les n termes de chaque ligne, on peut ajouter ce reste en une seule fois, aux  n termes d’une permutation figurée diagonale.

avec le Facteur multiplicatif : q = 3 et le Facteur additif :           r = 28
Il y a 8 solutions, qui correspondent aux 8 permutations figurées diagonales d’ordre 4.
On peut alors donner à M’_n une valeur quelconque.

Variante : On peut aussi admettre des nombres fractionnaires ou des nombres négatifs dans le carré magique que l’on se propose de construire.
On obtient alors un carré magique avec n’importe quelle valeur de M’_n.

Soit M’₃ = 52 , On aura M’₃ = M ₃ . q + r ;   et  52 = (15 x 3) + 7
avec le Facteur multiplicatif  q = 3 et le Facteur additif r / n = 7 / 3 = 2 + ⅓

Méthode du quotient

(ou Méthode du nombre additionnel uniforme)

On augmente d’un même nombre tous les termes du carré auxiliaire.
On choisit la nouvelle constante M’_n, et l’on répartit la différence ∆ entre cette nouvelle constante M’_n, et la constante magique M_n du carré magique auxiliaire normal, sur les n termes de chaque ligne (ou colonne) du carré auxiliaire.

Soit à répartir le nombre additionnel élémentaire w=(M’_n – M_n ) / n = ∆ / n

Exemple pour n = 3 :
prenons le Carré auxiliaire (Lo Shu) : M₃ = 15 et soit M’_n = 69
donc w=(69 – 15 ) / 3 = 18

Lorsque la quantité à répartir  ∆= M’_n – M_n  est divisible par n, on obtient un carré magique en nombres entiers > 0. Mais cela limite le choix de la nouvelle constante magique M’_n.
En effet  ∆= M’_n – M_n  divisible par n, est donc de la forme ∆= k.n
avec M_n =n(n²+1)/2 d’ou M’_n =k n + n(n²+1)/2

On en déduit k = w. Le tableau des valeurs de M’_n  = f (n, k) peut ainsi être présenté :

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	14	18	20
n = 3	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	51	57	69	75
n = 4	38	42	46	50	54	58	62	66	70	74	82	90	106	114
n = 5	70	75	80	85	90	95	100	105	110	115	125	135	155	165
n = 6	117	123	129	135	141	147	153	159	165	171	183	195	219	231

Mais si l’on admet des nombres fractionnaires, ou des nombres négatifs dans le carré magique que l’on veut construire, alors  M’_n  peut être quelconque.

Exemple avec n = 4  et des nombres fractionnaires.

avec M’₄ = 73 et w= (73-34)/4 = 9 +¾

Exemple avec n = 4 et des nombres négatifs.

avec M’₄ = 18 et w= (18-34)/4 =-4