La construction du Carré Magique de Dürer

Il existe plusieurs méthodes de construction du carré magique de Dürer. En voici quelques-unes.

La Méthode des permutations sur les diagonales

  • On part du carré fondamental naturel (1)
  • On permute les nombres sur les deux diagonales principales par rapport au centre (2)
  • On permute les deux colonnes médianes (3)

La Méthode des permutations

  • On part du carré fondamental naturel (1).
  • On ne touche pas aux nombres situés sur les diagonales principales, et on permute les autres nombres par rapport au centre (2)
  • On permute les colonnes extrêmes (3)
  • On prend le symétrique de la grille 3 par rapport au bord supérieur de ladite grille (4)

La Méthode des pointages

  • Soit le pointage de la grille 1
  • On commence par compter mentalement la suite naturelle des nombres entiers à partir de la case inférieure droite, et l’on inscrit les nombres dans les cases non pointées (2)
  • On recommence à compter mentalement à partir de la case diagonalement opposée (soit la première case de la première ligne), et l’on inscrit les nombres dans les cases pointées (3)
  • On permute enfin les colonnes médianes (4)

La Méthode des pointages, avec le type de pointage ci-dessus, est décrite par Moschopoulos dans son petit traité  » Construction des carrés magiques  » (XVe siècle). Cette méthode est donc relativement ancienne.
Albrecht Dürer a-t-il eu connaissance du traité de Moschopoulos pour établir son carré magique ?

portrait de Fra Luca Pacioli di Borgo, peint par Jacopo del Barbari, vers 1505

Albrecht Dürer, qui a séjourné en Italie à différentes reprises, a peut-être eu l’occasion de consulter l’ouvrage de Fra Luca Pacioli di Borgo,  » Des vertus presque miraculeuses des nombres et des grandeurs continues « , écrit en 1500 , et qui se trouve à la Bibliothèque Universitaire de Bologne, Codex 250, dans lequel est abordée la question des carrés magiques. On sait qu’il séjourne à Venise pendant presque toute l’année 1506. A la fin de ce séjour, il est allé précisément à Bologne, pour apprendre  » l’art secret de la perspective  » : c’est ce qu’il écrit le 13 octobre 1506 à Willibald Pirkheimer. Albrecht Dürer avait une bonne connaissance de la langue italienne. Il a bien pu s’entretenir de carrés magiques, entre autres, avec Luca Pacioli à cette occasion !

La Méthode des « inversions » ou des « symétries »

Par « inversion« , il faut entendre l’écriture d’une ligne ou d’une colonne dans l’ordre inverse de ses éléments ; on peut aussi considérer qu’il s’agit d’une symétrie.

  • On part du carré fondamental naturel (1)
  • On inverse une paire de colonnes symétriques (colonnes complémentaires) : par exemple les deux colonnes médianes, soit les colonnes 2 et 3 (2)
  • On inverse ensuite deux lignes symétriques de la grille 2 : ainsi la première et la dernière ligne, soit les lignes 1 et 4 (3)
  • On permute enfin les lignes 1 et 4 dans la grille 3. On obtient le Carré de Dürer (4)

Nota. On peut commencer par inverser les colonnes 1 et 4, puis ensuite les lignes 2 et 3.